3 · 4 ≠ 4 · 3?

Vuosittain moni vanhempi joutuu ihmettelemään, miksi lapselle ei ole annettu täysiä pisteitä tietynlaisesta kertolaskukokeen tehtävästä. Tehtävä voi olla vaikka seuraavanlainen: Kuinka monta sämpylöitä on yhteensä, jos niitä on 4 pussillista ja jokaisessa pussissa on 3 sämpylää? Lasku 3 · 4 = 12 ei ole kelvannut, vaan olisi pitänyt olla 4 · 3 = 12. 

Ymmärrän, mistä pistevähennys johtuu, mutta en silti hyväksy sitä. Minusta tästä aiheesta ei pitäisi vähentää pisteitä koskaan. Saadaan aikaan enemmän vahinkoa kuin hyötyä. Itse en ole tätä vanhempana muistaakseni kohdannut, ja pysyisin nahoissani, vaikka kohtaisinkin – ja pystyisin selittämään asian lapselle. Olen huolissani siitä joukosta, joka ei saa hyvää selitystä.

Kertolasku on tietysti ensin määriteltävä jotenkin. Tyypillisesti määritellään näin:

4 · 3 tarkoittaa yhteenlaskua 3 + 3 + 3 + 3,
3 · 4 tarkoittaa yhteenlaskua 4 + 4 + 4.

Tästä määritelmästä seuraa, että ensimmäinen lasku on luontevampi malli sämpylätilanteeseen kuin jälkimmäinen, vaikka lopputulos on sama. Pistevähennys perustuu tähän.

Miten ongelmasta päästäisiin eroon? Esimerkiksi yksinkertaisesti siten, että pistevähennystä ei tehtäisi, vaikka tekijät ovat ”väärin päin”. En näe tässä haittoja, koska hyvin varhaisessa vaiheessa opitaan kuitenkin, että m · n = n · m aina (ts. kertolasku on vaihdannainen). Vähämerkityksisen virheen voisi vallan hyvin antaa anteeksi.

Toinen vaihtoehto olisi muuttaa kertolaskun määritelmää. Määritelmän voisi esittää näin: 

3 · 4 tarkoittaa pallukoiden yhteismäärää ruudukossa, jossa on toiseen suuntaan 3 riviä ja toiseen suuntaan 4, eli seuraavanlaisessa kuviossa:

o o o o
o o o o
o o o o

Kun suuntia ei määritelmässä kiinnitetä, kuvion voi piirtää yhtä hyvin näinkin:

o o o
o o o
o o o
o o o

Välittömästi voidaan tehdä seuraavat havainnot:

• 3 · 4 ja 4 · 3 tarkoittavat samaa asiaa.
• Kuvion perusteella 3 · 4 (ja samalla myös 4 · 3) on yhtä suuri kuin 4 + 4 + 4 ja yhtä suuri kuin 3 + 3 + 3 + 3.

Tällä tavalla 3 · 4 ja 4 · 3 olisivat alusta saakka samanarvoisia matemaattisia malleja, eikä mitään pistevähennyksiä tarvitsisi edes miettiä. Ongelma ratkaistu?