Hauskoja yhtälöryhmiä

Kirjakokoelmaani on päätynyt tällainenkin mainio teos, vuodelta 1964:

Takakansiteksti on seuraava: 

Oulun normaalilyseon yliopettajan Kalervo Pekkalan uusi harjoituskirja on enemmän kuin tavallinen matematiikan tehtäväkokoelma. Selkeät tiivistelmät helposti unohtuvista kurssin kohdista mahdollistavat myös kotona omin avuin tapahtuvan kertauksen. Matematiikan kurssin äskettäinen laajentuminen differentiaali- ja integraalilaskennan osalta on kirjassa otettu huomioon. Runsas ja monipuolinen tehtävävalikoima tarjoaa aineistoa lukion kaikille asteille, myös ylioppilaskokelaille koko kurssin kertaus- ja harjoitusoppaana.

Olen selannut kirjaa ja ratkonut sen tehtäviä. Kohdassa Korkeamman asteen yhtälöryhmiä huomioni kiinnittyi oheiseen d-otsikkoon, jossa mainitaan homogeeninen yhtälö. Jouduin miettimään, mitä kyseinen termi tarkoittaa tässä yhteydessä. Sain selville, että se tarkoittaa yhtälöä, jossa homogeeninen eli termeiltään tasa-asteinen polynomi on kirjoitettu yhtä suureksi kuin nolla. (Selvittelyssä käytin sekä nettiä että kirjan lopussa olevaa vastaus- ja ohjeosiota.)

Entä ratkaiseminen? Katsotaan esimerkiksi tehtävää 212: $\begin{cases}xy-y^2=1 \\ x^2+2y^2+xy=8 \end{cases}$

Pekkala neuvoo, että vakiotermeistä pitäisi hankkiutua eroon. Ok, kerrotaan ylempi yhtälö 8:lla ja korvataan alemman yhtälön oikea puoli saadulla 8:n lausekkeella: \[x^2+2y^2+xy=8xy-8y^2.\] Tästä saadaan sitten homogeeninen yhtälö \[x^2+10y^2-7xy=0.\] Pekkala vihjaa edellisen tehtävän kohdalla, että homogeenisessa yhtälössä tulisi merkitä $y=tx$. Tehdään siis niin: \begin{align*}x^2+10(tx)^2-7x(tx)&=0 \\ x^2(10t^2-7t+1)&=0.\end{align*} Tästä eteenpäin kaikki on selvää tällaiselle peruskouluaikana kasvaneellekin. Helposti nähdään, että jos $x=0$, yhtälöpari ei toteudu. Ratkaisemalla sitten toisen asteen yhtälö saadaan $t=\tfrac12$ tai $t=\tfrac15$, joten $y=\tfrac12 x$ tai $y=\tfrac15 x$. Sijoittamalla nämä vuorollaan alkuperäiseen ylempään yhtälöön löydetään yhtälöparin ratkaisut: \[ (x,y)=(2,1), (-2,-1), (\tfrac52,\tfrac12), (-\tfrac52,-\tfrac12).\]

Mutta mistä tuo merkintä $y=tx$? Se perustuu siihen, että kun homogeeninen yhtälö jaetaan $x^2$:lla, saadaan nerokkaasti yhtälö, jossa on vain yksi tuntematon, nimittäin suhde $y/x$, jota voidaan sitten merkitä vaikkapa tuolla $t$:llä.

Kiitos Kalervo Pekkala, kun sait minut perehtymään tällaisiinkin! En muista perehtyneeni aiemmin. 1960-luvulla tämä lienee ollut matematiikan pitkän kurssin perusainesta, koska myös Kalle Väisälän kuuluisassa lukioalgebran oppikirjassa homogeenisen yhtälön tapaus käsitellään. Väisälän kirjoja selaan ja luen usein, mutta juuri tämän yhtälöryhmäyksityiskohdan olen tainnut sivuuttaa.