Kulmanäkökulma

Kulman suuruus radiaaneina on määritelmän mukaan kulmaa vastaavan ympyränkaaren pituuden suhde ympyrän säteen pituuteen. Tämä määritelmä tulee yleensä ensimmäisen kerran vastaan lukiossa.

Oppikirjoissa selostetaan monesti, että koska kyseessä on kahden pituuden suhde, niin ”yksiköt supistuvat pois” ja tulos on pelkkä reaaliluku. Tämä ei ehkä ole suoranaisesti väärä selostus, mutta se on kummallinen ja tarpeeton.

Nimittäin kaikki puhtaasti matemaattiset mitat ovat pelkkiä reaalilukuja. Ei pituuksillakaan on radiaanin määritelmässä mitään yksikköä, joten ei ole mitään ”pois supistuvaa”.

Kulma asteina = 360 · (kulma radiaaneina)/(2π), joten myös kulma asteina on pelkkä reaaliluku. 

Myös vaikkapa kulma täysinä kierroksina on pelkkä reaaliluku.

Kuitenkin vain radiaanimitan ”yksiköttömyyttä” korostetaan – miksi? Tulevaisuuden kirjantekijät, älkää tehkö niin!

Oikeasti haluatte sanoa, että radiaanin yhteydessä on tapana jättää käytetty mitta kokonaan mainitsematta. Kulman suuruuden perään ei siis kirjoiteta ”rad”, ellei asiayhteys sitä todella vaadi. Tämä käytäntö on oikeastaan mielivaltainen – yhtä hyvin voisi myös asteen merkin (°) jättää merkitsemättä, jos se on asiayhteydestä selvä (ja usein se on).

Radiaanin erityisasemalle on kuitenkin hyvä syy matemaattisessa analyysissä: funktiolla x ↦ sin(x rad) on kauniimpi derivaattafunktio kuin funktiolla x ↦ sin(x°). Ensimmäisen derivaattafunktio on x ↦ cos(x rad), jälkimmäisen x ↦ (π/180) cos(x°). Tästä syystä sinifunktiolla tarkoitetaan aina funktiota x ↦ sin(x rad).