Todellinen vuosikorko

Olen toimittanut ja taittanut kaikki Otavan pitkän matematiikan Juuri-sarjan oppikirjat. Toivon, että sarja toimii hyvin opetuksessa. Ainakin minä annoin täyden panokseni ja osaamiseni, jotta kirjantekijöiden näkemykset tulisivat mahdollisimman kirkkaina esitetyiksi. 

Sarjan uudistuskierroksella pitkään matematiikkaan tuli talousmatematiikan osio. Perehdyin ensimmäistä kertaa elämässäni todellisen vuosikoron käsitteeseen. Kävi ilmi, että sille löytyy kyllä helposti kaava ja epämääräisiä selityksiä, mutta kunnon selitystä, joka paljastaa kaavan ”sielun”, en löytänyt. 

En pidä pelkkää kaavoilla laskemista suuressa arvossa; nykyäänhän meillä on koneet, jotka laskevat. Paino tulisi laittaa kaavan sielun ymmärtämiselle. Kun tällainen ymmärrys syntyy, kaava muuttuu pelkästä merkkijonosta merkitykselliseksi olioksi, joka on mahdollista muistaa pientä tovia pidempään ja tarvittaessa palauttaa mieleen pienehköllä vaivalla.

Olen tyytyväinen siihen, millainen selitys Juureen saatiin. Tajusin, että nimi on hämäävä: todellinen vuosikorko ei oikeastaan ole todellinen vaan pikemminkin päinvastoin, se on kuvitteellinen, mallinnettu vuosikorko. Homman juoni on se, että kaikkien rahasummien ajatellaan kasvavan ajan mukana tietyn mallin mukaan, ja tästä mallista ratkaistaan sitten todellinen vuosikorko (tekisi mieli kirjoittaa: ”todellinen”).

Käytetty malli on seuraava: rahasumman $R$ ajatellaan kasvavan $t$:ssä vuodessa summaksi $R(1+p\,\%)^t$. Tästä sitten ratkaistaan todellinen vuosikorko $p\,\%$.

Tarkastellaan yksinkertaista esimerkkiä. Ostetaan 1000 euron tuote. Se maksetaan kuukauden (= 1/12 vuoden) kuluttua, ja maksuhetkellä peritään lisäksi 10 euron kulu. Mikä on todellinen vuosikorko tässä maksujärjestelyssä?

Ostohetken 1000 euroa kasvoi 1/12 vuodessa maksuhetken summaksi 1010 euroa. Mallinnetaan, että kasvu tapahtui edellä mainitun kaavan mukaisesti: \[ 1010 = 1000(1+p\,\%)^{1/12}. \] Ratkaistaan $p\,\%$: \begin{align}
1010 &= 1000(1+p\,\%)^{1/12} \\[.8em]
(1+p\,\%)^{1/12} &= \frac{1010}{1000} = 1{,}01 \\[.8em]
1+p\,\% &= 1{,}01^{12} \\[.8em]
p\,\% &= 1{,}01^{12} - 1 ≈ 0{,}1268 = 12{,}68\,\% 
\end{align} Todellinen vuosikorko on siis 12,68 prosenttia. Tähdennän vielä kerran, että tämä on vain laskennallinen luku, jolla ei ole mitään tekemistä sen kanssa, miten 10 euron kulu on alun perin määritelty.

Jos maksueriä on enemmän kuin yksi, kaikkien niistä ajatellaan muodostuneen mainitun mallin mukaisesti. Todellinen vuosikorko joudutaan tällöin ratkaisemaan monimutkaisemmasta yhtälöstä, mutta mitäpä tuolla väliä – kone osaa kyllä ratkaista. Tärkeintä on ymmärtää tässä kirjoituksessa mainittu mallinnusperiaate. Se on todellisen vuosikoron kaavan sielu.