Juhon mietteitä

Kulman suuruus radiaaneina on määritelmän mukaan kulmaa vastaavan ympyränkaaren pituuden suhde ympyrän säteen pituuteen. Tämä määritelmä tulee yleensä ensimmäisen kerran vastaan lukiossa. Oppikirjoissa selostetaan monesti, että koska kyseessä on kahden pituuden suhde, niin ”yksiköt supistuvat pois” ja tulos on pelkkä reaaliluku. Tämä ei ehkä ole suoranaisesti väärä selostus, mutta se on kummallinen ja tarpeeton. Nimittäin kaikki puhtaasti matemaattiset mitat ovat pelkkiä reaalilukuja. Ei pituuksillakaan on radiaanin määritelmässä mitään yksikköä, joten ei ole mitään ”pois supistuvaa”. Kulma asteina = 360 · (kulma radiaaneina)/(2π), joten myös kulma asteina on pelkkä reaaliluku.  Myös vaikkapa kulma täysinä kierroksina on pelkkä reaaliluku. Kuitenkin vain radiaanimitan ”yksiköttömyyttä” korostetaan – miksi? Tulevaisuuden kirjantekijät, älkää tehkö niin! Oikeasti haluatte sanoa, että radiaanin yhteydessä on tapana jättää käytetty mitta kokonaan mainitsematta. Kulman suuruuden pe...

Keskustelupalstoilla toistuu aina vain kina siitä, mitä sellaiset ilmaisut kuin ”kaksi kertaa enemmän” ja ”kaksi kertaa vähemmän” tarkoittavat ja mitä niiden pitäisi tarkoittaa. No, nuohan tarkoittavat kaksinkertaista määrää ja puolta määrää. Niiden ei myöskään ”pitäisi tarkoittaa” yhtään mitään muuta sillä perusteella, että ne olisivat muka jotenkin pielessä matemaattisesti tai loogisesti. Ne ovat moitteettomia kaikin puolin. En esitä perusteluja, koska sekä kieli-ihmiset että matemaatikot ovat perustelut jo monta kertaa esittäneet. Vähemmän mainittuna seikkana nostan esiin sen, että vaikka ilmaisujen logiikka olisikin pielessä, niitä ei tulisi tuomita kelvottomiksi sen vuoksi. Kieli ei ole loogisesti aukoton rakenne eikä missään nimessä pyri sellainen olemaan. Looginen kieli olisi luultavasti täysin käyttökelvoton ihmisten välisessä kommunikoinnissa. Klassinen esimerkki kielen epäloogisuudesta on se, että ”sanopa muuta” ja ”älä muuta sano” tarkoittavat ihan samaa (’totta puhut’). Kie...

Logaritmi opetetaan vasta lukion matematiikassa, mutta sen voi hyvin opettaa jo alakoululaiselle. Kuinka monta kymppiä tarvitaan kertolaskuun 10 · … · 10, että tulos on 100? Että tulos on 1000? Että tulos on 1 000 000 (miljoona)? Alakoululainen pystyy vastaamaan näihin ilman suurempaa avustamista. Vastauksia 2, 3, 6 kutsutaan lukujen 100, 1000, 1000000 logaritmeiksi – tarkemmin sanottuna kymmenkantaisiksi logaritmeiksi, koska kysyttiin kymppien määrää. Kaksikantainen logaritmi tarkoittaa vastaavasti kertolaskuun tarvittavien kakkosten määrää. Tässä vaiheessa lapsi osaa jo vastata, paljonko on kaksikantainen logaritmi 8 tai viisikantainen logaritmi 25. Käytän lapselle puhuessani ilmaisuja ”log kymppi”, ”log kakkonen” ja ”log viitonen”, koska ”kymmenkantainen logaritmi” ja vastaavat ovat turhan pitkiä ja juhlavia. Kaikenlainen turhantärkeys ja juhlavuus tulisi karsia matematiikan esityksestä ihan yleisestikin.

Aiemmassa kirjoituksessani mietin matematiikan olemassaolon syytä. Nyt annan pari esimerkkiä, millaisilla tehtävillä lapsen sisäistä matematiikkaa voi herätellä. Ei pidä kysyä pelkästään tavanomaisia kysymyksiä, sellaisia kuin 12 + 34. Poikamme oli ehkä ensimmäisellä tai toisella luokalla, kun kirjoitin aanelosen täyteen laskua 1 + 1 + ⋯ + 1 ja pyysin laskemaan. Poika rupesi holtittomasti nauramaan ja sai vasta tovin kuluttua sanottua, että ”iskällä on kyllä tyhmimmät tehtävät”. Ai, noinko helppoa on saada tehtävästä hauska, mietin… Ei tarvittu hassuja piirroksia tai muuta sellaista, pelkät numerot ja plusmerkit riittivät. Koottuaan itsensä poika ryhtyi innolla laskemaan ykkösiä. Hauskuuden lisäksi tehtävä ruokkii matemaattista ajattelua: kun ykkösiä on hirveän paljon, tekee mieli ruveta ryhmittelemään niitä viitosiksi tai kympeiksi. Eli ratkaisijalle tulee luontainen halu välttyä työltä valistuneella tavalla, mitä matematiikka pohjimmiltaan juuri on. Toinen variaatio on kirjoittaa aa...

Olen opiskellut matematiikkaa yliopiston jatko-opintoihin saakka. Opinnoissani en muista kuulleeni kunnon pohdintoja siitä, miksi ihmiskunta ylipäänsä harrastaa matematiikkaa. Esitän tässä mietteeni aiheesta. Matematiikkaa on, koska ihminen kyllästyy helposti rutiineihin. Tai no, riippuu ihmisestä, mutta pitäisin lajityypillisenä sitä, että mieluummin mietitään, miten voisi välttyä tekemästä, kuin tehdään mukisematta aina vain. Piirteen näkee jo pikkulapsessa. Sitä turhauttaa kokeilla erimuotoisia palikoita erilaisiin reikiin. Riemun näkee silmistä, kun lapsi keksii homman juonen, oikotien, ”matemaattisen kaavan”. Tässä on olennaista, että oikotien, jolla työltä vältytään, täytyy olla ymmärrettävä, jotta hyvänolontunne syntyy. Palikkalelun ojentaminen isomman sisaruksen tehtäväksi ei tuo samanlaista palkitsevaa tunnetta. Mielestäni matematiikka on siis pohjimmiltaan työn välttelyä ymmärrettävien oikoteiden avulla. Ja tästä saatava nautinto on osa ihmisyyttä samaan tapaan kuin vaikkapa ...

Syyskuun 2024 alussa Suomen yleinen arvonlisäverokanta nousi 24 prosentista 25,5 prosenttiin. Tällä ei ole vaikutusta siihen, kuinka yrittäjänä  arvioin arvonlisäveron suuruutta. Käytän seuraavaa sääntöä: alv on neljännes verottomasta hinnasta ja viidennes verollisesta hinnasta. Moni saattaa ajatella, että matemaatikko laskee aina tarkasti. Ei. Matemaatikko pyrkii laskemaan mahdollisimman tarkoituksenmukaisesti , matemaatikko optimoi . Arvonlisäveroilmoitukselle lasketaan ja ilmoitetaan summat tietysti sentilleen oikein. Mutta tämänhän hoitaa tietokone. Arvioitaessa ei kannata kaivaa laskinta esiin. Jos ostan verolliselta hinnaltaan 2000 euron laitteen, on täysin riittävää arvioida, että se maksaa yritykselle alv-vähennyksen jälkeen 1600 euroa (viidenneksen vähemmän kuin 2000). Käyttämäni säännön tarkkuus itse asiassa parani tämän viimeisen alv-muutoksen myötä. Desimaalin mukaan ottaminen on kyllä hassua. Matemaatikko olisi tietysti valinnut kauniin 25 prosenttia eli neljänneksen....