Juhon mietteitä

Suhtautumiseni pilkkusääntöihin ja muihin kielen hienouksiin on muuttunut vuosien myötä, kielen parissa työtä tehdessäni. Kouluopintojen jälkeen käsitys oli sen kaltainen, että pilkut ovat ensiarvoisen tärkeitä ja että ne on sijoiteltava ehdottomasti tietyn tiukan logiikan mukaisesti paikoilleen. Nyt ajattelen, että vain viestillä, tarinalla, on oikeasti merkitystä; pilkkujen tarkoitus on vain palvella tarinaa. Ilman tarinaa ei ole mitään. Älä ole huolissasi pilkuista, vaan laita paukkusi tarinaan. Ihmiset haluavat kuulla tarinoita, eivät katsella pilkkuja. Mitä opettaisin alakoululaisille pilkkusäännöistä? En mitään! Opettaisin sen, että virke aloitetaan isolla kirjaimella ja päätetään pisteeseen. Loppuajan keskittyisin sen opettamiseen, miten luodaan mielenkiintoisia tarinoita. Mitä opettaisin yläkoululaiselle? Suunnilleen sen, että virkkeen lauseet erotetaan toisistaan pilkuilla, mutta tähän on joitakin poikkeuksia. Lisäksi painottaisin, että tarina on tärkein eivätkä pilkut. Olen n...

Olen toimittanut ja taittanut kaikki Otavan pitkän matematiikan Juuri-sarjan oppikirjat. Toivon, että sarja toimii hyvin opetuksessa. Ainakin minä annoin täyden panokseni ja osaamiseni, jotta kirjantekijöiden näkemykset tulisivat mahdollisimman kirkkaina esitetyiksi.  Sarjan uudistuskierroksella pitkään matematiikkaan tuli talousmatematiikan osio. Perehdyin ensimmäistä kertaa elämässäni todellisen vuosikoron käsitteeseen. Kävi ilmi, että sille löytyy kyllä helposti kaava ja epämääräisiä selityksiä, mutta kunnon selitystä, joka paljastaa kaavan ”sielun”, en löytänyt.  En pidä pelkkää kaavoilla laskemista suuressa arvossa; nykyäänhän meillä on koneet, jotka laskevat. Paino tulisi laittaa kaavan sielun ymmärtämiselle. Kun tällainen ymmärrys syntyy, kaava muuttuu pelkästä merkkijonosta merkitykselliseksi olioksi, joka on mahdollista muistaa pientä tovia pidempään ja tarvittaessa palauttaa mieleen pienehköllä vaivalla. Olen tyytyväinen siihen, millainen selitys Juureen saatiin. Ta...

Olen oppikirjatoimittajan työssäni huomannut, että käytännössä aina, kun oppimateriaalissa havaitaan ongelma, ratkaisuksi tarjotaan jonkin lisäämistä . Jos teksti on vaikeaselkoista, lisätään selostusta. Jos tehtäväsarjassa on puutteita, lisätään tehtäviä. Jos jokin aihe on puutteellisesti käsitelty, lisätään ehkä vielä yksi alaluku. Poistaminen on jotenkin vaikeaa ja pelottavaa, vaikka se olisi monesti paras ratkaisu. Niinpä kaikki paisuu ja pöhöttyy. Oppimateriaalimaailman esimerkkinä mainittakoon, että siinä missä 1960-luvun lukiolaisella oli noin 400 sivua pitkää matematiikkaa opiskeltavanaan, 2020-luvun lukiolainen joutuu kahlaamaan läpi noin 2500 sivua. Aihetta on tutkittu tieteellisestikin. Alle linkatulla sivulla käsitellään tutkimusta, jossa useimmat ihmiset mm. lisäsivät palikkarakennelmaan palikoita, kun heitä pyydettiin tekemään rakennelmasta tukevampi. Poistamiseen piti erikseen kannustaa, ennen kuin siitä tuli lisäämistä suositumpaa. Why Our Brains Miss Opportunities to I...

Vuosittain moni vanhempi joutuu ihmettelemään, miksi lapselle ei ole annettu täysiä pisteitä tietynlaisesta kertolaskukokeen tehtävästä. Tehtävä voi olla vaikka seuraavanlainen: Kuinka monta sämpylöitä on yhteensä, jos niitä on 4 pussillista ja jokaisessa pussissa on 3 sämpylää? Lasku 3 · 4 = 12 ei ole kelvannut, vaan olisi pitänyt olla 4 · 3 = 12.  Ymmärrän, mistä pistevähennys johtuu, mutta en silti hyväksy sitä. Minusta tästä aiheesta ei pitäisi vähentää pisteitä koskaan. Saadaan aikaan enemmän vahinkoa kuin hyötyä. Itse en ole tätä vanhempana muistaakseni kohdannut, ja pysyisin nahoissani, vaikka kohtaisinkin – ja pystyisin selittämään asian lapselle. Olen huolissani siitä joukosta, joka ei saa hyvää selitystä. Kertolasku on tietysti ensin määriteltävä jotenkin. Tyypillisesti määritellään näin: 4 · 3 tarkoittaa yhteenlaskua 3 + 3 + 3 + 3, 3 · 4 tarkoittaa yhteenlaskua 4 + 4 + 4. Tästä määritelmästä seuraa, että ensimmäinen lasku on luontevampi mall...

Olen pannut merkille, että suomalaisessa matematiikan opetuksessa suositaan kertomerkkiä enemmän kuin englanninkielisessä. Jos käytetään sulkumerkkejä, kertomerkit voi jättää pois. Tykkään siitä ja käytän sitä omissa laskuissani yhä enemmän, nyt kun vuosien myötä olen oppinut koulukäytännöstä pois. Esimerkkinä toimikoon funktion arvon laskeminen. Jos $f(x)=2x^2-3x+4$, niin Suomen kouluissa $f(1)$ laskettaneen yleensä näin: \[ f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 4 = 2-3+4 = 3.\] Muualla maailmassa näkee enemmän tätä: \[ f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 4 = 2-3+4 = 3.\] Varmaan joku pitää eroa mitättömänä. Minusta sulkuversio on kuitenkin selvempi. Siinä välittyy paremmin ajatus ”luku 1 pudotetaan x :n paikalle”. Kertomerkit tekevät lausekkeen sekavaksi.

Kulman suuruus radiaaneina on määritelmän mukaan kulmaa vastaavan ympyränkaaren pituuden suhde ympyrän säteen pituuteen. Tämä määritelmä tulee yleensä ensimmäisen kerran vastaan lukiossa. Oppikirjoissa selostetaan monesti, että koska kyseessä on kahden pituuden suhde, niin ”yksiköt supistuvat pois” ja tulos on pelkkä reaaliluku. Tämä ei ehkä ole suoranaisesti väärä selostus, mutta se on kummallinen ja tarpeeton. Nimittäin kaikki puhtaasti matemaattiset mitat ovat pelkkiä reaalilukuja. Ei pituuksillakaan on radiaanin määritelmässä mitään yksikköä, joten ei ole mitään ”pois supistuvaa”. Kulma asteina = 360 · (kulma radiaaneina)/(2π), joten myös kulma asteina on pelkkä reaaliluku.  Myös vaikkapa kulma täysinä kierroksina on pelkkä reaaliluku. Kuitenkin vain radiaanimitan ”yksiköttömyyttä” korostetaan – miksi? Tulevaisuuden kirjantekijät, älkää tehkö niin! Oikeasti haluatte sanoa, että radiaanin yhteydessä on tapana jättää käytetty mitta kokonaan mainitsematta. Kulman suuruuden pe...

Keskustelupalstoilla toistuu aina vain kina siitä, mitä sellaiset ilmaisut kuin ”kaksi kertaa enemmän” ja ”kaksi kertaa vähemmän” tarkoittavat ja mitä niiden pitäisi tarkoittaa. No, nuohan tarkoittavat kaksinkertaista määrää ja puolta määrää. Niiden ei myöskään ”pitäisi tarkoittaa” yhtään mitään muuta sillä perusteella, että ne olisivat muka jotenkin pielessä matemaattisesti tai loogisesti. Ne ovat moitteettomia kaikin puolin. En esitä perusteluja, koska sekä kieli-ihmiset että matemaatikot ovat perustelut jo monta kertaa esittäneet. Vähemmän mainittuna seikkana nostan esiin sen, että vaikka ilmaisujen logiikka olisikin pielessä, niitä ei tulisi tuomita kelvottomiksi sen vuoksi. Kieli ei ole loogisesti aukoton rakenne eikä missään nimessä pyri sellainen olemaan. Looginen kieli olisi luultavasti täysin käyttökelvoton ihmisten välisessä kommunikoinnissa. Klassinen esimerkki kielen epäloogisuudesta on se, että ”sanopa muuta” ja ”älä muuta sano” tarkoittavat ihan samaa (’totta puhut’). Kie...

Logaritmi opetetaan vasta lukion matematiikassa, mutta sen voi hyvin opettaa jo alakoululaiselle. Kuinka monta kymppiä tarvitaan kertolaskuun 10 · … · 10, että tulos on 100? Että tulos on 1000? Että tulos on 1 000 000 (miljoona)? Alakoululainen pystyy vastaamaan näihin ilman suurempaa avustamista. Vastauksia 2, 3, 6 kutsutaan lukujen 100, 1000, 1000000 logaritmeiksi – tarkemmin sanottuna kymmenkantaisiksi logaritmeiksi, koska kysyttiin kymppien määrää. Kaksikantainen logaritmi tarkoittaa vastaavasti kertolaskuun tarvittavien kakkosten määrää. Tässä vaiheessa lapsi osaa jo vastata, paljonko on kaksikantainen logaritmi 8 tai viisikantainen logaritmi 25. Käytän lapselle puhuessani ilmaisuja ”log kymppi”, ”log kakkonen” ja ”log viitonen”, koska ”kymmenkantainen logaritmi” ja vastaavat ovat turhan pitkiä ja juhlavia. Kaikenlainen turhantärkeys ja juhlavuus tulisi karsia matematiikan esityksestä ihan yleisestikin.

Aiemmassa kirjoituksessani mietin matematiikan olemassaolon syytä. Nyt annan pari esimerkkiä, millaisilla tehtävillä lapsen sisäistä matematiikkaa voi herätellä. Ei pidä kysyä pelkästään tavanomaisia kysymyksiä, sellaisia kuin 12 + 34. Poikamme oli ehkä ensimmäisellä tai toisella luokalla, kun kirjoitin aanelosen täyteen laskua 1 + 1 + ⋯ + 1 ja pyysin laskemaan. Poika rupesi holtittomasti nauramaan ja sai vasta tovin kuluttua sanottua, että ”iskällä on kyllä tyhmimmät tehtävät”. Ai, noinko helppoa on saada tehtävästä hauska, mietin… Ei tarvittu hassuja piirroksia tai muuta sellaista, pelkät numerot ja plusmerkit riittivät. Koottuaan itsensä poika ryhtyi innolla laskemaan ykkösiä. Hauskuuden lisäksi tehtävä ruokkii matemaattista ajattelua: kun ykkösiä on hirveän paljon, tekee mieli ruveta ryhmittelemään niitä viitosiksi tai kympeiksi. Eli ratkaisijalle tulee luontainen halu välttyä työltä valistuneella tavalla, mitä matematiikka pohjimmiltaan juuri on. Toinen variaatio on kirjoittaa aa...

Olen opiskellut matematiikkaa yliopiston jatko-opintoihin saakka. Opinnoissani en muista kuulleeni kunnon pohdintoja siitä, miksi ihmiskunta ylipäänsä harrastaa matematiikkaa. Esitän tässä mietteeni aiheesta. Matematiikkaa on, koska ihminen kyllästyy helposti rutiineihin. Tai no, riippuu ihmisestä, mutta pitäisin lajityypillisenä sitä, että mieluummin mietitään, miten voisi välttyä tekemästä, kuin tehdään mukisematta aina vain. Piirteen näkee jo pikkulapsessa. Sitä turhauttaa kokeilla erimuotoisia palikoita erilaisiin reikiin. Riemun näkee silmistä, kun lapsi keksii homman juonen, oikotien, ”matemaattisen kaavan”. Tässä on olennaista, että oikotien, jolla työltä vältytään, täytyy olla ymmärrettävä, jotta hyvänolontunne syntyy. Palikkalelun ojentaminen isomman sisaruksen tehtäväksi ei tuo samanlaista palkitsevaa tunnetta. Mielestäni matematiikka on siis pohjimmiltaan työn välttelyä ymmärrettävien oikoteiden avulla. Ja tästä saatava nautinto on osa ihmisyyttä samaan tapaan kuin vaikkapa ...

Syyskuun 2024 alussa Suomen yleinen arvonlisäverokanta nousi 24 prosentista 25,5 prosenttiin. Tällä ei ole vaikutusta siihen, kuinka yrittäjänä  arvioin arvonlisäveron suuruutta. Käytän seuraavaa sääntöä: alv on neljännes verottomasta hinnasta ja viidennes verollisesta hinnasta. Moni saattaa ajatella, että matemaatikko laskee aina tarkasti. Ei. Matemaatikko pyrkii laskemaan mahdollisimman tarkoituksenmukaisesti , matemaatikko optimoi . Arvonlisäveroilmoitukselle lasketaan ja ilmoitetaan summat tietysti sentilleen oikein. Mutta tämänhän hoitaa tietokone. Arvioitaessa ei kannata kaivaa laskinta esiin. Jos ostan verolliselta hinnaltaan 2000 euron laitteen, on täysin riittävää arvioida, että se maksaa yritykselle alv-vähennyksen jälkeen 1600 euroa (viidenneksen vähemmän kuin 2000). Käyttämäni säännön tarkkuus itse asiassa parani tämän viimeisen alv-muutoksen myötä. Desimaalin mukaan ottaminen on kyllä hassua. Matemaatikko olisi tietysti valinnut kauniin 25 prosenttia eli neljänneksen....